Значение среднего

Среднее – это определенная величина (полученная в результате вычислений), которая представляет собой нечто вроде середины в группе данных, обладающих подобными характеристиками и измеряемых в одинаковых единицах. Группой данных могут быть оценки учеников первого класса, рост детей в возрасте 10 лет и т.д. Более точное определение понятия «среднее» приводится в продолжении этой главы.

Как вычисляется среднее?

Мы покажем 3 способа вычисления среднего на примере, относящемся к оценкам 10 учеников четвертого класса за экзамен по математике.

Первый способ: сложение оценок и деление результата на количество учеников

В таблице 3.1 перечислены оценки учеников за экзамен.

Таблица 3.1

Чтобы вычислить среднее, сначала мы складываем все оценки учеников. В результате получается 770 баллов, и мы делим их на количество учеников и получаем 77 баллов. 77 баллов – это средняя оценка.

Более точное определение среднего

Сумму всех оценок в классе (770 баллов) мы назовем изначальной суммой оценок класса. Среднее – это такая величина, что если бы все 10 оценок в классе были бы одинаковыми и равными среднему, то сумма этих 10 оценок была бы равна изначальной сумме оценок класса.

Другими словами, 77 (среднее) × 10 = 770 баллов.

Второй способ: вычисление вклада каждого ученика в среднее

Как мы вскоре убедимся, каждый ученик прибавляет к среднему какое-то количество баллов. Количество баллов, которое он добавляет, зависит от двух факторов:

1. I. От его оценки — чем больше оценка, тем больше вклад ученика в среднее.

2. От его относительной доли в классе (объяснение следует ниже).

Понятие «относительная доля» означает долю ученика от общего количества учеников в классе.

• Если в классе 10 ученика, каждый ученик составляет ½, или 10% от класса.

• Если в классе 2 ученика, каждый ученик составляет ½, или 50% от класса.

• Если в классе 1 ученик, каждый ученик составляет 1 или 100% от класса.

Чем больше относительная доля ученика, тем больше его вклад в среднее.

Экономисты обычно используют понятие «вес» ученика вместо понятия «относительная доля». В дальнейшем мы тоже будем использовать это понятие (в большинстве случаев).

На рисунке 3.1. показан вклад каждого ученика в среднее. Рисунок делится на две части:

• В части A показаны все десять учеников класса и оценки, которые они получили.

• В части B показан вклад каждого ученика в среднее и способ его вычисления.

Из рисунка видно, вклад ученика №1 в среднее составляет 9 баллов. Его вклад равен произведению его оценки (90 баллов) и его веса в классе (10%). Вклад ученика №2 составляет 8 баллов (его оценка равна 80 баллов, а его вес равен 10%). Точно так же вычисляется вклад всех остальных учеников вплоть до десятого ученика.

Рисунок 3.1

Третий способ: с помощью групп, состоящих из учеников, получивших одинаковые оценки

Этот способ является наиболее популярным, а во многих случаях и наиболее простым. Чтобы произвести вычисление, мы делим всех учеников класса на группы в зависимости от оценок, которые они получили.

Рисунок 3.2.

Вклад каждой группы в среднее зависит от двух факторов:

• От оценки группы — чем выше оценка группы, тем выше ее вклад в среднее.

• От веса группы — вес группы равен общему весу всех учеников в группе.

В нашем примере вес каждого ученика равен 10% (таким образом, вес трех учеников равен 30%, вес пяти учеников равен 50% и т.д.)

На рисунке 3.2. мы видим, что

• Вклад группы 1 в среднее составляет 18 баллов.

• Вклад группы 2 в среднее составляет 24 баллов.

• Вклад группы 3 в среднее составляет 35 баллов.

Итого вклад всех трех групп в среднее составляет 77 баллов. Это и есть среднее.

Систематизация данных в таблице

Таблица 3.2