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Transición a una curva estándar

La Transición de cualquier Curva Normal a la Curva Estándar

En realidad, tenemos un número infinito de campanas, no solamente la curva estándar en forma de campana. Cada distribución de probabilidad tiene su propia expectativa y desviación estándar y por lo tanto, su propia curva en forma de campana. Nuestra habilidad para calcular probabilidades para las distribuciones estándar no es de uso (por el momento) en el cálculo de probabilidades de otras campanas, lo que aplica a la mayoría de los casos. Pero los matemáticos nos hay ayudado de nuevo. Ellos encontraron una manera de convertir cualquier distribución de probabilidad (la curva objetivo) en una distribución de probabilidad estándar.

Este método es llamado estandarización. La normalización es en realidad una especie de "traducción" de los valores de cualquier distribución de probabilidad normal en valores correspondientes a la curva patrón en forma de campana (= los valores estandarizados), que nos permite utilizar la tabla. Por lo tanto, casi cualquier problema que necesitemos resolver requerirá dos operaciones separadas:

  • Estandarización
  • Búsqueda en la tabla

Los valores estandarizados son conocidos como unidades estándar. La operación de estandarización es el proceso de traducir la curva objetivo a la curva estándar.

Estandarización – una Ilustración Preliminar

De manera ilustrativa podemos comparar el acto de estandarización a una situación en la cual intentamos medir la longitud de un alambre espiral.

Para comenzar lo colocamos sobre una regla de medición, y después lo enderezamos.

Así se actúa con respecto a una curva normal cualquiera (curva de meta). Nos "Lay" en la curva estándar (de modo que el centro de la curva objetivo cae en 0. A continuación, "forma" exactamente en la forma de la curva estándar, que corresponde al acto de enderezar el hilo.

Ésta adaptación es posible, ya que ambas curvas se caracterizan por la misma superficie (=1). Los actos descritos aquí de "colocación" y de "diseño" se efectúan por intermedio de dos operaciones matemáticas muy simples:

La "colocación" se lleva a cabo al sustraer cada valor en la curva de meta (= un número sobre el eje de X) de su valor de expectativa. El "diseño" se lleva a cabo al dividir el resultado recibido por la desviación típica de la curva de meta.

Al final del proceso, cada valor en la curva objetivo (que llamaremos el valor original) se ha asignado un valor correspondiente, que se llama el valor normalizado.

Los valores estandarizados nos permiten calcular probabilidades que se refieren a los valores originales en la curva objetivo.

 


Algunos ejemplos:

La curva normal en el Diagrama A representa la distribución de probabilidad de la estatura de los niños del 12º grado. La expectativa es μ = 170 centímetros y la desviación estándar es σ = 10 centímetros. Esta curva normal obviamente no es una curva estándar (en la cual la expectativa es 0 y la desviación estándar es 1).

 Asumamos que deseamos calcular la probabilidad que la altura de un niño elegido al azar sea menor a 180 centímetros, o es decir, que proporción de los estudiantes del 12º grado tienen una estatura menor a 180 centímetros.

 Diagrama

  La Transición de cualquier Curva Normal a la Curva Estándar

Para poder encontrar la unidad estándar (el valor estandarizado) de 180, restamos la expectativa de la distribución de probabilidad (170) de 180 y dividimos el resultado por la desviación estándar de la distribución de probabilidad lo que nos da:

(180-170)/10 = 10/10 = 1

Esto significa que la unidad estándar de 180 es 1.

Es decir, el valor 180 en la curva objetivo es igual al valor 1 en la curva estándar.

Insertamos la unidad estándar (1) en el siguiente diagrama el valor original (180).

Diagrama

  La Transición de cualquier Curva Normal a la Curva Estándar

Nota: La unidad estándar de expectativa siempre es 0. Esto se puede verificar al estandarizar la expectativa: (170-170)/10 = 0/10 = 0

En vez de preguntar qué porcentaje abajo de los 180, ahora podemos preguntar el porcentaje del área bajo la campana está a la izquierda de 1. Lo que en realidad hemos hecho es traducir la pregunta de una que no sabemos cómo responder a una pregunta equivalente que podemos responder. Usamos la tabla para responder la segunda pregunta, y vemos que el área marcada en el diagrama es 0.8413, es decir, 84.13% de personas que tienen una estatura menor a 180 centímetros.

De hecho, la operación de “traducir” la curva objetivo involucra dos pasos:

  1. “Estirar” o “encoger” la curva objetivo (las áreas que deseamos medir) en la forma de la curva estándar (sin cambiar el numero en el eje.

El cambio es solamente en las brechas entre los números). Este “estiramiento” o “encogimiento” se hace por medio de la división en la fórmula de estandarización.

  1. Mover la curva para hacer que encaje exactamente en la curva normal. Este movimiento se logra al hacer la resta en la fórmula de estandarización.
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